אפי ארזי לומד בבית ספר הטכני של חיל האויר בחיפה. שנה לאחר מכן, ב-1954, הוא מתגייס לצה"ל. הוא משרת כטכנאי מכ"ם בחיל האויר. בתום שירותו הצבאי נוסע ארזי לארצות הברית ומתקבל, ללא תעודת בגרות, לאוניברסיטת MIT, אחת האוניברסיטאות היוקרתיות בעולם. הוא מסיים את לימודיו בהנדסת אלקטרוניקה ב-MIT בהצטיינות.